%----------------- TEXT -----------------

\subsection*{1.2. French}
%\subsubsection*{1.2.}
Soient $K$ un corps (commutatif), $\Omega$ un vectoriel de rang un sur $K$ et $d: K \to \Omega$ une dérivation non triviale, i.e. une application additive non nulle vérifiant l'identité
\begin{equation}
d(xy) = x\,dy + y\,dx \tag{1.2.1}.
\end{equation}

Soit $V$ un vectoriel de dimension finie $n$ sur $K$. 

Une connexion sur $V$ est une application additive $\nabla: V \to \Omega \otimes V$ vérifiant l'identité
\begin{equation}
\nabla(xv) = dx.v + x.\nabla v \tag{1.2.2}.
\end{equation}

Si $\tau$ est un élément du dual $\Omega^\vee$ de $\Omega$, on pose
\begin{align}
\partial_\tau(x) &= \langle dx, \tau \rangle \in K \tag{1.2.3} \\
\nabla_\tau(v) &= \langle \nabla v, \tau \rangle \in V \tag{1.2.4}.
\end{align}

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On a donc
(1.2.5.) $\partial_\tau$ est une dérivation. 

(1.2.6.) $\nabla_\tau(xv) = \partial_\tau(x) \cdot v + x \cdot \nabla_\tau v$.

(1.2.7.) $\nabla_{\lambda\tau}(v) = \lambda \cdot \nabla_\tau v$. 


Soit $v \in V$. On vérifie facilement que le sous-vectoriel de $V$ engendré par les vecteurs
\[
v,\; \nabla_{\tau_1} v,\; \nabla_{\tau_2} \nabla_{\tau_1} v,\; \cdots,\; \nabla_{\tau_k} \cdots \nabla_{\tau_1} v,
\]
pour $\tau_i \neq 0$ dans $\Omega$, ne dépend pas du choix des $\tau_i \neq 0$ et ne change pas si on remplace $v$ par $\lambda v$ ($\lambda \in K^*$). 

De plus, si le dernier de ces vecteurs est combinaison linéaire des précédents, alors ce vectoriel est stable par dérivation. 

On dira que $v$ est un \textbf{vecteur cyclique} si pour $\tau \in \Omega$, les vecteurs
\[
\nabla_\tau^i v \quad (0 \leq i \leq n)
\]
forment une base de $V$.

%----------------- TRANSLATION -----------------
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\subsection*{1.2. English}
%\subsubsection{1.2.}
Let $K$ be a (commutative) field, $\Omega$ a one-dimensional vector space over $K$, and $d: K \to \Omega$ a nontrivial derivation, i.e., a nonzero additive map satisfying the identity
\begin{equation}
d(xy) = x\,dy + y\,dx \tag{1.2.1}.
\end{equation}

Let $V$ be a finite-dimensional vector space of dimension $n$ over $K$.

A connection on $V$ is an additive map $\nabla: V \to \Omega \otimes V$ satisfying the identity
\begin{equation}
\nabla(xv) = dx \cdot v + x \cdot \nabla v \tag{1.2.2}.
\end{equation}

If $\tau$ is an element of the dual space $\Omega^\vee$ of $\Omega$, we set
\begin{align}
\partial_\tau(x) &= \langle dx, \tau \rangle \in K \tag{1.2.3} \\
\nabla_\tau(v) &= \langle \nabla v, \tau \rangle \in V \tag{1.2.4}.
\end{align}

%\page{- 42 -}

We therefore have:

(1.2.5.) $\partial_\tau$ is a derivation.

(1.2.6.) $\nabla_\tau(xv) = \partial_\tau(x) \cdot v + x \cdot \nabla_\tau v$.

(1.2.7.) $\nabla_{\lambda\tau}(v) = \lambda \cdot \nabla_\tau v$.

Let $v \in V$. It is easy to verify that the subspace of $V$ generated by the vectors
\[
v,\; \nabla_{\tau_1} v,\; \nabla_{\tau_2} \nabla_{\tau_1} v,\; \cdots,\; \nabla_{\tau_k} \cdots \nabla_{\tau_1} v,
\]
for nonzero $\tau_i \in \Omega$, does not depend on the choice of the nonzero $\tau_i$, and remains unchanged if $v$ is replaced by $\lambda v$ ($\lambda \in K^*$).

Moreover, if the last of these vectors is a linear combination of the preceding ones, then this subspace is stable under differentiation.

We say that $v$ is a cyclic vector if, for some (hence any) $\tau \in \Omega^* \setminus \{0\}$, the vectors
\[
\nabla_\tau^i v \quad (0 \leq i \leq n)
\]
form a basis of $V$.
